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闭环因子二项式展开
二项式定理
\[(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{k}{n}x^{n-k}y^k\]其中
\[\binom{k}{n} = \frac {n!}{k!(n-k)!}\]当n不是正整数时，k无法正好求和到n， 因此，将一直求和至正无穷，这样形式上就得到了广义二项式定理
广义二项式定理
\[(x + y)^\alpha = \sum_{k=0}^{\infty}\binom{k}{\alpha}x^{\alpha - k}y^k\]其中
\[\binom{k}{\alpha} = \frac {\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)}{k!}\]对于书中公式的求解
因此对比上面的广义二项式定义，公式\((1-wz^{-1})^{-1}\)的展开如下 ：
\[\begin{align*} (1-wz^{-1})^{-1} &= \sum_{l=0}^{\infty}1^{-1-l}(-wz^{-1})^l\binom{l}{-1} \\ &= \sum_{l=0}^{\infty}(-1)^{l}(wz^{-1})^l\frac{-1(-1-1)(-1-2)...(-1-l+1)}{l!} \\ &= \sum_{l=0}^{\infty}(-1)^{l}(wz^{-1})^{l}(-1)^l\frac{l!}{l!} \\ &= \sum_{l=0}^{\infty}(wz^{-1})^l \\ &= \sum_{l=0}^{\infty}w^{l}z^{-l} \\ \end{align*}\]因此，最终的展开公式如下
\[(1-wz^{-1})^{-1} = \sum_{l=0}^{\infty}w^{l}z^{-l}\] \[\frac{A}{1-AB} = w\sum_{l=0}^{\infty}w^{l}z^{-l}\]
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最后编辑时间为:2018-03-29 00:00:00
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